Solucionar 0=(2y-1)(8-y)

$$0 = ( 2 y - 1 ) ( 8 - y )$$

Resolver para y

$$y=8$$

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2y-1 por 8-y y combinar términos semejantes.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-2y^{2}+17y-8=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -2y^{2}+ay+by-8. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=17 ab=-2\left(-8\right)=16$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

La solución es el par que proporciona suma 17.

$$a=16 b=1$$

Vuelva a escribir -2y^{2}+17y-8 como \left(-2y^{2}+16y\right)+\left(y-8\right).

$$\left(-2y^{2}+16y\right)+\left(y-8\right)$$

Factoriza 2y en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$2y\left(-y+8\right)-\left(-y+8\right)$$

Simplifica el término común -y+8 con la propiedad distributiva.

$$\left(-y+8\right)\left(2y-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -y+8=0 y 2y-1=0.

$$y=8 y=\frac{1}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2y-1 por 8-y y combinar términos semejantes.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-2y^{2}+17y-8=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -2 por a, 17 por b y -8 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 17.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica -4 por -2.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica 8 por -8.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-64}}{2\left(-2\right)}$$

Suma 289 y -64.

$$y=\frac{-17±\sqrt{225}}{2\left(-2\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 225.

$$y=\frac{-17±15}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica 2 por -2.

$$y=\frac{-17±15}{-4}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{-17±15}{-4} dónde ± es más. Suma -17 y 15.

$$y=-\frac{2}{-4}$$

Reduzca la fracción \frac{-2}{-4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{-17±15}{-4} dónde ± es menos. Resta 15 de -17.

$$y=-\frac{32}{-4}$$

Divide -32 por -4.

$$y=8$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=\frac{1}{2} y=8$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2y-1 por 8-y y combinar términos semejantes.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Agrega 8 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$17y-2y^{2}=8$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-2y^{2}+17y=8$$

Divide los dos lados por -2.

$$\frac{-2y^{2}+17y}{-2}=\frac{8}{-2}$$

Al dividir por -2, se deshace la multiplicación por -2.

$$y^{2}+\frac{17}{-2}y=\frac{8}{-2}$$

Divide 17 por -2.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y=\frac{8}{-2}$$

Divide 8 por -2.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y=-4$$

Divida -\frac{17}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{17}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{17}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{17}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}=-4+\frac{289}{16}$$

Suma -4 y \frac{289}{16}.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}=\frac{225}{16}$$

Factor y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{17}{4}=\frac{15}{4} y-\frac{17}{4}=-\frac{15}{4}$$

Suma \frac{17}{4} a los dos lados de la ecuación.

$$y=8 y=\frac{1}{2}$$