Solucionar (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x-3 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Para calcular el opuesto de x-2, calcule el opuesto de cada término.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Combina -x y -x para obtener -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Suma -3 y 2 para obtener -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 2 por a, -2 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} y x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} deben tener los signos opuestos. Considere el caso cuando x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} sea positivo y x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} sea negativo.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} sea positivo y x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} sea negativo.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$