Solucionar (20-3x)(12-2x)=112

$$(20-3x)(12-2x)=112$$

Resolver para x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 20-3x por 12-2x y combinar términos semejantes.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Resta 112 en los dos lados.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Resta 112 de 240 para obtener 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 6 por a, -76 por b y 128 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Obtiene el cuadrado de -76.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Suma 5776 y -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Toma la raíz cuadrada de 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

El opuesto de -76 es 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{76±52}{12} dónde ± es más. Suma 76 y 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Reduzca la fracción \frac{128}{12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{76±52}{12} dónde ± es menos. Resta 52 de 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Divide 24 por 12.

$$x=2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 20-3x por 12-2x y combinar términos semejantes.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Resta 240 en los dos lados.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Resta 240 de 112 para obtener -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Divide los dos lados por 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Al dividir por 6, se deshace la multiplicación por 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-76}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-128}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Divida -\frac{38}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{19}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{19}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{19}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Suma -\frac{64}{3} y \frac{361}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Suma \frac{19}{3} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$