Solucionar (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Resolver para x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Piense en \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Obtiene el cuadrado de 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Expande \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calcula 3 a la potencia de 2 y obtiene 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combina x^{2} y 9x^{2} para obtener 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Resta 64 de 9 para obtener -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Suma -55 y 1 para obtener -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Resta 3x^{2} en los dos lados.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combina 10x^{2} y -3x^{2} para obtener 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Resta 9x en los dos lados.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combina 6x y -9x para obtener -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Resta 18 en los dos lados.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Resta 18 de -54 para obtener -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 7x^{2}+ax+bx-72. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

La solución es el par que proporciona suma -3.

$$a=-24 b=21$$

Vuelva a escribir 7x^{2}-3x-72 como \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Factoriza x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Simplifica el término común 7x-24 con la propiedad distributiva.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 7x-24=0 y x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Piense en \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Obtiene el cuadrado de 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Expande \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calcula 3 a la potencia de 2 y obtiene 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combina x^{2} y 9x^{2} para obtener 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Resta 64 de 9 para obtener -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Suma -55 y 1 para obtener -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Resta 3x^{2} en los dos lados.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combina 10x^{2} y -3x^{2} para obtener 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Resta 9x en los dos lados.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combina 6x y -9x para obtener -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Resta 18 en los dos lados.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Resta 18 de -54 para obtener -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 7 por a, -3 por b y -72 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Obtiene el cuadrado de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplica -4 por 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplica -28 por -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Suma 9 y 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Toma la raíz cuadrada de 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

El opuesto de -3 es 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Multiplica 2 por 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{3±45}{14} dónde ± es más. Suma 3 y 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Reduzca la fracción \frac{48}{14} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{3±45}{14} dónde ± es menos. Resta 45 de 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Divide -42 por 14.

$$x=-3$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Piense en \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Obtiene el cuadrado de 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Expande \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calcula 3 a la potencia de 2 y obtiene 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combina x^{2} y 9x^{2} para obtener 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Resta 64 de 9 para obtener -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Suma -55 y 1 para obtener -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Resta 3x^{2} en los dos lados.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combina 10x^{2} y -3x^{2} para obtener 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Resta 9x en los dos lados.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combina 6x y -9x para obtener -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Agrega 54 a ambos lados.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Suma 18 y 54 para obtener 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Divide los dos lados por 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Al dividir por 7, se deshace la multiplicación por 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Divida -\frac{3}{7}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{3}{14}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{3}{14} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{3}{14}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Suma \frac{72}{7} y \frac{9}{196}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Suma \frac{3}{14} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$