Solucionar (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Resolver para x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Piense en \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Obtiene el cuadrado de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular el opuesto de 4x^{2}-1, calcule el opuesto de cada término.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} y -4x^{2} para obtener 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Suma 4 y 1 para obtener 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resta 47 en los dos lados.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Resta 47 de 5 para obtener -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Resta x en los dos lados.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combina -20x y -x para obtener -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Divide los dos lados por 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx-2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-2 b=1$$

Vuelva a escribir x^{2}-x-2 como \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Simplifica x en x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Simplifica el término común x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-2=0 y x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Piense en \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Obtiene el cuadrado de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular el opuesto de 4x^{2}-1, calcule el opuesto de cada término.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} y -4x^{2} para obtener 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Suma 4 y 1 para obtener 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resta 47 en los dos lados.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Resta 47 de 5 para obtener -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Resta x en los dos lados.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combina -20x y -x para obtener -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 21 por a, -21 por b y -42 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Obtiene el cuadrado de -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplica -4 por 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplica -84 por -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Suma 441 y 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Toma la raíz cuadrada de 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

El opuesto de -21 es 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplica 2 por 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{21±63}{42} dónde ± es más. Suma 21 y 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Divide 84 por 42.

$$x=2$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{21±63}{42} dónde ± es menos. Resta 63 de 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Divide -42 por 42.

$$x=-1$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=2 x=-1$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Piense en \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Obtiene el cuadrado de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular el opuesto de 4x^{2}-1, calcule el opuesto de cada término.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} y -4x^{2} para obtener 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Suma 4 y 1 para obtener 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resta x en los dos lados.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combina -20x y -x para obtener -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Resta 5 en los dos lados.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Resta 5 de 47 para obtener 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Divide los dos lados por 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Al dividir por 21, se deshace la multiplicación por 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Divide -21 por 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Divide 42 por 21.

$$x^{2}-x=2$$

Divida -1, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{1}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Suma 2 y \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=2 x=-1$$