Solucionar left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Resolver para x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combina 2x y 4x para obtener 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Suma 1 y 4 para obtener 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Resta x en los dos lados.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combina 6x y -x para obtener 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Resta 12 en los dos lados.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Resta 12 de 5 para obtener -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 2x^{2}+ax+bx-7. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

La solución es el par que proporciona suma 5.

$$a=-2 b=7$$

Vuelva a escribir 2x^{2}+5x-7 como \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Factoriza 2x en el primero y 7 en el segundo grupo.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Simplifica el término común x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-1=0 y 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combina 2x y 4x para obtener 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Suma 1 y 4 para obtener 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Resta x en los dos lados.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combina 6x y -x para obtener 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Resta 12 en los dos lados.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Resta 12 de 5 para obtener -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 2 por a, 5 por b y -7 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Obtiene el cuadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Suma 25 y 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Toma la raíz cuadrada de 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-5±9}{4} dónde ± es más. Suma -5 y 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Divide 4 por 4.

$$x=1$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-5±9}{4} dónde ± es menos. Resta 9 de -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Reduzca la fracción \frac{-14}{4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combina 2x y 4x para obtener 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Suma 1 y 4 para obtener 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Resta x en los dos lados.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combina 6x y -x para obtener 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Resta 5 en los dos lados.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Resta 5 de 12 para obtener 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Divide los dos lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Al dividir por 2, se deshace la multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Divida \frac{5}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{5}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{5}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{5}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Suma \frac{7}{2} y \frac{25}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Resta \frac{5}{4} en los dos lados de la ecuación.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$