Solucionar sqrt{x^2+4}+sqrt{left(12-xright)^2+9}=13

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } +4 } + \sqrt{ { \left(12-x \right) }^{ 2 } +9 } =13$$

Resolver para x

$$x = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4,8$$

Pasos de la solución

Resta \sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(12-x\right)^{2}.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{144-24x+x^{2}+9}$$

Suma 144 y 9 para obtener 153.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}+4}\right)^{2}=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}+4} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}+4.

$$x^{2}+4=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{153-24x+x^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 153-24x+x^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+153-24x+x^{2}$$

Suma 169 y 153 para obtener 322.

$$x^{2}+4=322-26\sqrt{153-24x+x^{2}}-24x+x^{2}$$

Resta 322-24x+x^{2} en los dos lados de la ecuación.

$$x^{2}+4-\left(322-24x+x^{2}\right)=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Para calcular el opuesto de 322-24x+x^{2}, calcule el opuesto de cada término.

$$x^{2}+4-322+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Resta 322 de 4 para obtener -318.

$$x^{2}-318+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$-318+24x=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-318+24x\right)^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-318+24x\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Expande \left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\right)^{2}\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula -26 a la potencia de 2 y obtiene 676.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{153-24x+x^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(153-24x+x^{2}\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 676 por 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=103428-16224x+676x^{2}$$

Resta 103428 en los dos lados.

$$101124-15264x+576x^{2}-103428=-16224x+676x^{2}$$

Resta 103428 de 101124 para obtener -2304.

$$-2304-15264x+576x^{2}=-16224x+676x^{2}$$

Agrega 16224x a ambos lados.

$$-2304-15264x+576x^{2}+16224x=676x^{2}$$

Combina -15264x y 16224x para obtener 960x.

$$-2304+960x+576x^{2}=676x^{2}$$

Resta 676x^{2} en los dos lados.

$$-2304+960x+576x^{2}-676x^{2}=0$$

Combina 576x^{2} y -676x^{2} para obtener -100x^{2}.

$$-2304+960x-100x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-100x^{2}+960x-2304=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -100 por a, 960 por b y -2304 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-960±\sqrt{960^{2}-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 960.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Multiplica -4 por -100.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600+400\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Multiplica 400 por -2304.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-921600}}{2\left(-100\right)}$$

Suma 921600 y -921600.

$$x=\frac{-960±\sqrt{0}}{2\left(-100\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$x=-\frac{960}{2\left(-100\right)}$$

Multiplica 2 por -100.

$$x=-\frac{960}{-200}$$

Reduzca la fracción \frac{-960}{-200} a su mínima expresión extrayendo y anulando 40.

$$x=\frac{24}{5}$$

Sustituya \frac{24}{5} por x en la ecuación \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}=13.

$$\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12-\frac{24}{5}\right)^{2}+9}=13$$

Simplifica. El valor x=\frac{24}{5} satisface la ecuación.

$$13=13$$

La ecuación \sqrt{x^{2}+4}=-\sqrt{x^{2}-24x+153}+13 tiene una solución única.

$$x=\frac{24}{5}$$