Solucionar sqrt{x+5}+1=2sqrt{x}quad

$$\sqrt { x + 5 } + 1 = 2 \sqrt { x } \quad$$

Resolver para x

$$x=4$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+5}+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+5}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}+2\sqrt{x+5}+1=\left(2\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+5} a la potencia de 2 y obtiene x+5.

$$x+5+2\sqrt{x+5}+1=\left(2\sqrt{x}\right)^{2}$$

Suma 5 y 1 para obtener 6.

$$x+6+2\sqrt{x+5}=\left(2\sqrt{x}\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$x+6+2\sqrt{x+5}=2^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$x+6+2\sqrt{x+5}=4\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x} a la potencia de 2 y obtiene x.

$$x+6+2\sqrt{x+5}=4x$$

Resta x+6 en los dos lados de la ecuación.

$$2\sqrt{x+5}=4x-\left(x+6\right)$$

Para calcular el opuesto de x+6, calcule el opuesto de cada término.

$$2\sqrt{x+5}=4x-x-6$$

Combina 4x y -x para obtener 3x.

$$2\sqrt{x+5}=3x-6$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(3x-6\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{x+5}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(3x-6\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(3x-6\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+5} a la potencia de 2 y obtiene x+5.

$$4\left(x+5\right)=\left(3x-6\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por x+5.

$$4x+20=\left(3x-6\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3x-6\right)^{2}.

$$4x+20=9x^{2}-36x+36$$

Resta 9x^{2} en los dos lados.

$$4x+20-9x^{2}=-36x+36$$

Agrega 36x a ambos lados.

$$4x+20-9x^{2}+36x=36$$

Combina 4x y 36x para obtener 40x.

$$40x+20-9x^{2}=36$$

Resta 36 en los dos lados.

$$40x+20-9x^{2}-36=0$$

Resta 36 de 20 para obtener -16.

$$40x-16-9x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-9x^{2}+40x-16=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -9x^{2}+ax+bx-16. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=40 ab=-9\left(-16\right)=144$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

La solución es el par que proporciona suma 40.

$$a=36 b=4$$

Vuelva a escribir -9x^{2}+40x-16 como \left(-9x^{2}+36x\right)+\left(4x-16\right).

$$\left(-9x^{2}+36x\right)+\left(4x-16\right)$$

Factoriza 9x en el primero y -4 en el segundo grupo.

$$9x\left(-x+4\right)-4\left(-x+4\right)$$

Simplifica el término común -x+4 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+4\right)\left(9x-4\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+4=0 y 9x-4=0.

$$x=4 x=\frac{4}{9}$$

Sustituya 4 por x en la ecuación \sqrt{x+5}+1=2\sqrt{x}.

$$\sqrt{4+5}+1=2\sqrt{4}$$

Simplifica. El valor x=4 satisface la ecuación.

$$4=4$$

Sustituya \frac{4}{9} por x en la ecuación \sqrt{x+5}+1=2\sqrt{x}.

$$\sqrt{\frac{4}{9}+5}+1=2\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplifica. El valor x=\frac{4}{9} no satisface la ecuación.

$$\frac{10}{3}=\frac{4}{3}$$

Sustituya 4 por x en la ecuación \sqrt{x+5}+1=2\sqrt{x}.

$$\sqrt{4+5}+1=2\sqrt{4}$$

Simplifica. El valor x=4 satisface la ecuación.

$$4=4$$

La ecuación \sqrt{x+5}+1=2\sqrt{x} tiene una solución única.

$$x=4$$