Solucionar sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Resolver para x

$$x=5$$

$$x=1$$

Pasos de la solución

Resta -\sqrt{2x-1} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+1} a la potencia de 2 y obtiene 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Resta 1 de 1 para obtener 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Resta 2x en los dos lados de la ecuación.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combina 3x y -2x para obtener x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Resta 8x en los dos lados.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combina 2x y -8x para obtener -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Agrega 4 a ambos lados.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Suma 1 y 4 para obtener 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Para resolver la ecuación, factor x^{2}-6x+5 utilizar la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-6 ab=5$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-5=0 y x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$1=1$$

Sustituya 1 por x en la ecuación \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Simplifica. El valor x=1 satisface la ecuación.

$$1=1$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$