Solucionar sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3}

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

Resolver para x

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8,198901107$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-9} a la potencia de 2 y obtiene 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-3} a la potencia de 2 y obtiene x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

Resta 3 de 25 para obtener 22.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

Resta 22+x en los dos lados de la ecuación.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

Para calcular el opuesto de 22+x, calcule el opuesto de cada término.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

Resta 22 de -9 para obtener -31.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

Combina 2x y -x para obtener x.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-31\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Expande \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Calcula -10 a la potencia de 2 y obtiene 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-3} a la potencia de 2 y obtiene x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 100 por x-3.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

Resta 100x en los dos lados.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

Combina -62x y -100x para obtener -162x.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

Agrega 300 a ambos lados.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

Suma 961 y 300 para obtener 1261.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 1 por a, -162 por b y 1261 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -162.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

Multiplica -4 por 1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

Suma 26244 y -5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 21200.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

El opuesto de -162 es 162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} dónde ± es más. Suma 162 y 20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

Divide 162+20\sqrt{53} por 2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} dónde ± es menos. Resta 20\sqrt{53} de 162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

Divide 162-20\sqrt{53} por 2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

Sustituya 10\sqrt{53}+81 por x en la ecuación \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

Simplifica. El valor x=10\sqrt{53}+81 no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 81-10\sqrt{53} por x en la ecuación \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

Simplifica. El valor x=81-10\sqrt{53} satisface la ecuación.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

La ecuación \sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 tiene una solución única.

$$x=81-10\sqrt{53}$$