Solucionar ∫ 4left(5-2xright)^3 wrt x

$$\int{ 4 { \left(5-2x \right) }^{ 3 } }d x$$

Calcular

$$-\frac{\left(5-2x\right)^{4}}{2}+С$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(5-2x\right)^{3}.

$$\int 4\left(125-150x+60x^{2}-8x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 125-150x+60x^{2}-8x^{3}.

$$\int 500-600x+240x^{2}-32x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int 500\mathrm{d}x+\int -600x\mathrm{d}x+\int 240x^{2}\mathrm{d}x+\int -32x^{3}\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$\int 500\mathrm{d}x-600\int x\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Encuentra la parte entera de 500 mediante la tabla de \int a\mathrm{d}x=ax de regla integral común.

$$500x-600\int x\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplica -600 por \frac{x^{2}}{2}.

$$500x-300x^{2}+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 240 por \frac{x^{3}}{3}.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplica -32 por \frac{x^{4}}{4}.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-8x^{4}$$

Si F\left(x\right) es un antiderivado de f\left(x\right), el conjunto de todos los antiderivados de f\left(x\right) viene dado por F\left(x\right)+C. Por lo tanto, agregue la constante de la integración C\in \mathrm{R} al resultado.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-8x^{4}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$4\left(5-2x\right)^{3}$$