Solucionar ∫ left(4x-2right)^3 wrt x

$$\int{ { \left(4x-2 \right) }^{ 3 } }d x$$

Calcular

$$\left(2x-1\right)^{4}+С$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(4x-2\right)^{3}.

$$\int 64x^{3}-96x^{2}+48x-8\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -96x^{2}\mathrm{d}x+\int 48x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-96\int x^{2}\mathrm{d}x+48\int x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplica 64 por \frac{x^{4}}{4}.

$$16x^{4}-96\int x^{2}\mathrm{d}x+48\int x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica -96 por \frac{x^{3}}{3}.

$$16x^{4}-32x^{3}+48\int x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplica 48 por \frac{x^{2}}{2}.

$$16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}+\int -8\mathrm{d}x$$

Encuentra la parte entera de -8 mediante la tabla de \int a\mathrm{d}x=ax de regla integral común.

$$16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}-8x$$

Si F\left(x\right) es un antiderivado de f\left(x\right), el conjunto de todos los antiderivados de f\left(x\right) viene dado por F\left(x\right)+C. Por lo tanto, agregue la constante de la integración C\in \mathrm{R} al resultado.

$$16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}-8x+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$8\left(2x-1\right)^{3}$$