Solucionar ∫ 18x^3+33x^2-40x-75/3x+5 wrt x

$$\int \frac { 18 x ^ { 3 } + 33 x ^ { 2 } - 40 x - 75 } { 3 x + 5 } d x$$

Calcular

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x+С$$

Pasos de la solución

Factorice las expresiones que aún no se hayan factorizado en \frac{18x^{3}+33x^{2}-40x-75}{3x+5}.

$$\int \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+5\right)^{2}}{3x+5}\mathrm{d}x$$

Anula 3x+5 tanto en el numerador como en el denominador.

$$\int \left(2x-3\right)\left(3x+5\right)\mathrm{d}x$$

Expande la expresión.

$$\int 6x^{2}+x-15\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 6 por \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

Encuentra la parte entera de -15 mediante la tabla de \int a\mathrm{d}x=ax de regla integral común.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x$$

Si F\left(x\right) es un antiderivado de f\left(x\right), el conjunto de todos los antiderivados de f\left(x\right) viene dado por F\left(x\right)+C. Por lo tanto, agregue la constante de la integración C\in \mathrm{R} al resultado.

$$-15x+\frac{x^{2}}{2}+2x^{3}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$6x^{2}+x-15$$