Solucionar 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Resolver para x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+2\right), el mínimo común denominador de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} y x^{2} para obtener 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x y x para obtener 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} y -2x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Resta 4x en los dos lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x y -4x para obtener -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Divide los dos lados por 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 2x^{2}+ax+bx-1. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-2 b=1$$

Vuelva a escribir 2x^{2}-x-1 como \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Simplifica 2x en 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Simplifica el término común x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-1=0 y 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+2\right), el mínimo común denominador de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} y x^{2} para obtener 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x y x para obtener 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} y -2x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Resta 4x en los dos lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x y -4x para obtener -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 4 por a, -2 por b y -2 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Obtiene el cuadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Suma 4 y 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Toma la raíz cuadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

El opuesto de -2 es 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{2±6}{8} dónde ± es más. Suma 2 y 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divide 8 por 8.

$$x=1$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{2±6}{8} dónde ± es menos. Resta 6 de 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{-4}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+2\right), el mínimo común denominador de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} y x^{2} para obtener 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x y x para obtener 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} y -2x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Resta 4x en los dos lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x y -4x para obtener -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Agrega 2 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$4x^{2}-2x=2$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Reduzca la fracción \frac{-2}{4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Reduzca la fracción \frac{2}{4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divida -\frac{1}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{1}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Suma \frac{1}{2} y \frac{1}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a los dos lados de la ecuación.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$