Solucionar 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Resolver para x

$$x=7$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,3 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Suma 3 y 18 para obtener 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Agrega 3x a ambos lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x y 3x para obtener 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+21. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La solución es el par que proporciona suma 4.

$$a=7 b=-3$$

Vuelva a escribir -x^{2}+4x+21 como \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Factoriza -x en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Simplifica el término común x-7 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-7=0 y -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

La variable x no puede ser igual a -3.

$$x=7$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,3 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Suma 3 y 18 para obtener 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Agrega 3x a ambos lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x y 3x para obtener 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 4 por b y 21 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 16 y 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4±10}{-2} dónde ± es más. Suma -4 y 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divide 6 por -2.

$$x=-3$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4±10}{-2} dónde ± es menos. Resta 10 de -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Divide -14 por -2.

$$x=7$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-3 x=7$$

La variable x no puede ser igual a -3.

$$x=7$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,3 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Suma 3 y 18 para obtener 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Agrega 3x a ambos lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x y 3x para obtener 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Resta 21 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$4x-x^{2}=-21$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Divide 4 por -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Divide -21 por -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Divida -4, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -2. A continuación, agregue el cuadrado de -2 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -2.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Suma 21 y 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Factor x^{2}-4x+4. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifica.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Suma 2 a los dos lados de la ecuación.

$$x=7 x=-3$$

La variable x no puede ser igual a -3.

$$x=7$$