Solucionar 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Resolver para x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -6,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+6\right), el mínimo común denominador de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combina 2x y x\times 15 para obtener 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Resta 6x en los dos lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combina 17x y -6x para obtener 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+12. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La solución es el par que proporciona suma 11.

$$a=12 b=-1$$

Vuelva a escribir -x^{2}+11x+12 como \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Factoriza -x en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Simplifica el término común x-12 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-12=0 y -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -6,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+6\right), el mínimo común denominador de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combina 2x y x\times 15 para obtener 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Resta 6x en los dos lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combina 17x y -6x para obtener 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 11 por b y 12 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 121 y 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-11±13}{-2} dónde ± es más. Suma -11 y 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divide 2 por -2.

$$x=-1$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-11±13}{-2} dónde ± es menos. Resta 13 de -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divide -24 por -2.

$$x=12$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-1 x=12$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -6,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+6\right), el mínimo común denominador de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combina 2x y x\times 15 para obtener 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Resta 6x en los dos lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combina 17x y -6x para obtener 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Resta 12 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$11x-x^{2}=-12$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Divide 11 por -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Divide -12 por -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Divida -11, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{11}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{11}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{11}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Suma 12 y \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Suma \frac{11}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=12 x=-1$$