Solve sqrt{5555555555555555555555555/22255{frac{5/frac{frac{frac{2{frac{2/frac{2{222}}}}{}}{}}}}}}{sqrt{5}+4}

$$\frac{ \sqrt{ \frac{ 5555555555555555555555555 }{ \frac{ 22255 }{ \frac{ 5 }{ \frac{ \frac{ \frac{ 2 }{ \frac{ 2 }{ \frac{ 2 }{ 222 } } } }{ } }{ } } } } } }{ \sqrt{ 5 } +4 }$$

Evaluate

$$\frac{4\sqrt{2744783333333333333333333058855}-5\sqrt{548956666666666666666666611771}}{48961}\approx 59687803749.354751587$$

Solution Steps

Divide 5555555555555555555555555 by \frac{22255}{\frac{5}{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{2}{\frac{2}{222}}}}{1}}{1}}} by multiplying 5555555555555555555555555 by the reciprocal of \frac{22255}{\frac{5}{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{2}{\frac{2}{222}}}}{1}}{1}}}.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times \frac{5}{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{2}{\frac{2}{222}}}}{1}}{1}}}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Divide 5 by \frac{\frac{\frac{2}{\frac{2}{\frac{2}{222}}}}{1}}{1} by multiplying 5 by the reciprocal of \frac{\frac{\frac{2}{\frac{2}{\frac{2}{222}}}}{1}}{1}.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times \frac{5}{\frac{\frac{2}{\frac{2}{\frac{2}{222}}}}{1}}}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Divide 2 by \frac{2}{\frac{2}{222}} by multiplying 2 by the reciprocal of \frac{2}{\frac{2}{222}}.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times \frac{5}{\frac{\frac{2\times \frac{2}{222}}{2}}{1}}}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Cancel out 2 and 2.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times \frac{5}{\frac{\frac{2}{222}}{1}}}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Reduce the fraction \frac{2}{222} to lowest terms by extracting and canceling out 2.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times \frac{5}{\frac{\frac{1}{111}}{1}}}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Anything divided by one gives itself.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times \frac{5}{\frac{1}{111}}}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Divide 5 by \frac{1}{111} by multiplying 5 by the reciprocal of \frac{1}{111}.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times 5\times 111}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Multiply 5 and 111 to get 555.

$$\frac{\sqrt{\frac{5555555555555555555555555\times 555}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Multiply 5555555555555555555555555 and 555 to get 3083333333333333333333333025.

$$\frac{\sqrt{\frac{3083333333333333333333333025}{22255}}}{\sqrt{5}+4}$$

Reduce the fraction \frac{3083333333333333333333333025}{22255} to lowest terms by extracting and canceling out 5.

$$\frac{\sqrt{\frac{616666666666666666666666605}{4451}}}{\sqrt{5}+4}$$

Rewrite the square root of the division \sqrt{\frac{616666666666666666666666605}{4451}} as the division of square roots \frac{\sqrt{616666666666666666666666605}}{\sqrt{4451}}.

$$\frac{\frac{\sqrt{616666666666666666666666605}}{\sqrt{4451}}}{\sqrt{5}+4}$$

Rationalize the denominator of \frac{\sqrt{616666666666666666666666605}}{\sqrt{4451}} by multiplying numerator and denominator by \sqrt{4451}.

$$\frac{\frac{\sqrt{616666666666666666666666605}\sqrt{4451}}{\left(\sqrt{4451}\right)^{2}}}{\sqrt{5}+4}$$

The square of \sqrt{4451} is 4451.

$$\frac{\frac{\sqrt{616666666666666666666666605}\sqrt{4451}}{4451}}{\sqrt{5}+4}$$

To multiply \sqrt{616666666666666666666666605} and \sqrt{4451}, multiply the numbers under the square root.

$$\frac{\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{4451}}{\sqrt{5}+4}$$

Express \frac{\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{4451}}{\sqrt{5}+4} as a single fraction.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{4451\left(\sqrt{5}+4\right)}$$

Use the distributive property to multiply 4451 by \sqrt{5}+4.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{4451\sqrt{5}+17804}$$

Rationalize the denominator of \frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{4451\sqrt{5}+17804} by multiplying numerator and denominator by 4451\sqrt{5}-17804.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{\left(4451\sqrt{5}+17804\right)\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}$$

Consider \left(4451\sqrt{5}+17804\right)\left(4451\sqrt{5}-17804\right). Multiplication can be transformed into difference of squares using the rule: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{\left(4451\sqrt{5}\right)^{2}-17804^{2}}$$

Expand \left(4451\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{4451^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-17804^{2}}$$

Calculate 4451 to the power of 2 and get 19811401.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{19811401\left(\sqrt{5}\right)^{2}-17804^{2}}$$

The square of \sqrt{5} is 5.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{19811401\times 5-17804^{2}}$$

Multiply 19811401 and 5 to get 99057005.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{99057005-17804^{2}}$$

Calculate 17804 to the power of 2 and get 316982416.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{99057005-316982416}$$

Subtract 316982416 from 99057005 to get -217925411.

$$\frac{\sqrt{2744783333333333333333333058855}\left(4451\sqrt{5}-17804\right)}{-217925411}$$

Use the distributive property to multiply \sqrt{2744783333333333333333333058855} by 4451\sqrt{5}-17804.

$$\frac{4451\sqrt{2744783333333333333333333058855}\sqrt{5}-17804\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{-217925411}$$

Factor 2744783333333333333333333058855=5\times 548956666666666666666666611771. Rewrite the square root of the product \sqrt{5\times 548956666666666666666666611771} as the product of square roots \sqrt{5}\sqrt{548956666666666666666666611771}.

$$\frac{4451\sqrt{5}\sqrt{548956666666666666666666611771}\sqrt{5}-17804\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{-217925411}$$

Multiply \sqrt{5} and \sqrt{5} to get 5.

$$\frac{4451\times 5\sqrt{548956666666666666666666611771}-17804\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{-217925411}$$

Multiply 4451 and 5 to get 22255.

$$\frac{22255\sqrt{548956666666666666666666611771}-17804\sqrt{2744783333333333333333333058855}}{-217925411}$$