Επίλυση z^2+8z-20

$$z ^ { 2 } + 8 z - 20$$

Παράγοντας

$$\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-2 b=10$$

Γράψτε πάλι το z^{2}+8z-20 ως \left(z^{2}-2z\right)+\left(10z-20\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(10z-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε z στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$z\left(z-2\right)+10\left(z-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$z^{2}+8z-20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -20.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2}$$

Προσθέστε το 64 και το 80.

$$z=\frac{-8±\sqrt{144}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$z=\frac{-8±12}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-8±12}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 12.

$$z=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$z=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-8±12}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -8.

$$z=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$z=-10$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 2 με το x_{1} και το -10 με το x_{2}.

$$z^{2}+8z-20=\left(z-2\right)\left(z-\left(-10\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$z^{2}+8z-20=\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$