Επίλυση y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=2$$

$$y=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}-17y+30 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-17 ab=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -17.

$$a=-15 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-15=0 και y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -17.

$$a=-15 b=-2$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-17y+30 ως \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-15=0 και y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -17 και το c με 30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Υψώστε το -17 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Προσθέστε το 289 και το -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -17 είναι 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{17±13}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 17 και το 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το 30 με το 2.

$$y=15$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{17±13}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$y=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=15 y=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Η αφαίρεση του 30 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Διαιρέστε το -17, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{17}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{17}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{17}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Προσθέστε το -30 και το \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Παραγον y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Προσθέστε \frac{17}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=15 y=2$$