Επίλυση x^2+8x-180=0

$$x ^ { 2 } + 8 x - 180 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-18$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+8x-180 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-10 b=18$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-10\right)\left(x+18\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και x+18=0.

$$x=10 x=-18$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-180. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-10 b=18$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+8x-180 ως \left(x^{2}-10x\right)+\left(18x-180\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(18x-180\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 18 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-10\right)+18\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(x+18\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και x+18=0.

$$x=10 x=-18$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+8x-180=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 8 και το c με -180 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-180\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -180.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+720}}{2}$$

Προσθέστε το 64 και το 720.

$$x=\frac{-8±\sqrt{784}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-8±28}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±28}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 28.

$$x=\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το 20 με το 2.

$$x=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±28}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από -8.

$$x=-\frac{36}{2}$$

Διαιρέστε το -36 με το 2.

$$x=-18$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=10 x=-18$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+8x-180=0$$

Προσθέστε 180 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+8x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Η αφαίρεση του -180 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+8x=-\left(-180\right)$$

Αφαιρέστε -180 από 0.

$$x^{2}+8x=180$$

Διαιρέστε το 8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+8x+4^{2}=180+4^{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+8x+16=180+16$$

Προσθέστε το 180 και το 16.

$$x^{2}+8x+16=196$$

Παραγον x^{2}+8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=196$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{196}$$

Απλοποιήστε.

$$x+4=14 x+4=-14$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-18$$