Επίλυση x^2+6x-40=0

$$x ^ { 2 } + 6 x - 40 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-10$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+6x-40 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=-40$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 6.

$$a=-4 b=10$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-4\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+10=0.

$$x=4 x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-40. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=1\left(-40\right)=-40$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 6.

$$a=-4 b=10$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+6x-40 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(10x-40\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(10x-40\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)+10\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+10=0.

$$x=4 x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+6x-40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 6 και το c με -40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-40\right)}}{2}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-40\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -40.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2}$$

Προσθέστε το 36 και το 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-6±14}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±14}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±14}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -6.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$x=-10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+6x-40=0$$

Προσθέστε 40 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+6x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Η αφαίρεση του -40 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+6x=-\left(-40\right)$$

Αφαιρέστε -40 από 0.

$$x^{2}+6x=40$$

Διαιρέστε το 6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+3^{2}=40+3^{2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+9=40+9$$

Προσθέστε το 40 και το 9.

$$x^{2}+6x+9=49$$

Παραγον x^{2}+6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=49$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Απλοποιήστε.

$$x+3=7 x+3=-7$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-10$$