Επίλυση x^2+42x=135

$$x ^ { 2 } + 42 x = 135$$

Λύση ως προς x

$$x=-45$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 135 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+42x-135=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+42x-135 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=42 ab=-135$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -135.

$$-1,135 -3,45 -5,27 -9,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+135=134 -3+45=42 -5+27=22 -9+15=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 42.

$$a=-3 b=45$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-3\right)\left(x+45\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+45=0.

$$x=3 x=-45$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 135 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+42x-135=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-135. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=42 ab=1\left(-135\right)=-135$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -135.

$$-1,135 -3,45 -5,27 -9,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+135=134 -3+45=42 -5+27=22 -9+15=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 42.

$$a=-3 b=45$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+42x-135 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(45x-135\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(45x-135\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 45 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)+45\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x+45\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+45=0.

$$x=3 x=-45$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+42x=135$$

Αφαιρέστε 135 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+42x-135=135-135$$

Η αφαίρεση του 135 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+42x-135=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 42 και το c με -135 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-135\right)}}{2}$$

Υψώστε το 42 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\left(-135\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -135.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764+540}}{2}$$

Προσθέστε το 1764 και το 540.

$$x=\frac{-42±\sqrt{2304}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2304.

$$x=\frac{-42±48}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-42±48}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -42 και το 48.

$$x=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-42±48}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 48 από -42.

$$x=-\frac{90}{2}$$

Διαιρέστε το -90 με το 2.

$$x=-45$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-45$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+42x=135$$

Διαιρέστε το 42, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 21. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 21 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+42x+21^{2}=135+21^{2}$$

Υψώστε το 21 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+42x+441=135+441$$

Προσθέστε το 135 και το 441.

$$x^{2}+42x+441=576$$

Παραγον x^{2}+42x+441. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+21\right)^{2}=576$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+21\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Απλοποιήστε.

$$x+21=24 x+21=-24$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-45$$