Επίλυση x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+31x-360 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=31 ab=-360$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 31.

$$a=-9 b=40$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-360. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 31.

$$a=-9 b=40$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+31x-360 ως \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 40 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 31 και το c με -360 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Υψώστε το 31 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Προσθέστε το 961 και το 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-31±49}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -31 και το 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το 18 με το 2.

$$x=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-31±49}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 49 από -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Διαιρέστε το -80 με το 2.

$$x=-40$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=9 x=-40$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Προσθέστε 360 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Η αφαίρεση του -360 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Αφαιρέστε -360 από 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Διαιρέστε το 31, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{31}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{31}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{31}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Προσθέστε το 360 και το \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Παραγον x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{31}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=9 x=-40$$