Επίλυση x^2+2x-224=0

$$x ^ { 2 } + 2 x - 224 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-16$$

$$x=14$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+2x-224 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-224$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -224.

$$-1,224 -2,112 -4,56 -7,32 -8,28 -14,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+224=223 -2+112=110 -4+56=52 -7+32=25 -8+28=20 -14+16=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-14 b=16$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-14\right)\left(x+16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-14=0 και x+16=0.

$$x=14 x=-16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-224. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=1\left(-224\right)=-224$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -224.

$$-1,224 -2,112 -4,56 -7,32 -8,28 -14,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+224=223 -2+112=110 -4+56=52 -7+32=25 -8+28=20 -14+16=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-14 b=16$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+2x-224 ως \left(x^{2}-14x\right)+\left(16x-224\right).

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(16x-224\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 16 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-14\right)+16\left(x-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-14 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-14\right)\left(x+16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-14=0 και x+16=0.

$$x=14 x=-16$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+2x-224=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 2 και το c με -224 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-224\right)}}{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-224\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -224.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+896}}{2}$$

Προσθέστε το 4 και το 896.

$$x=\frac{-2±\sqrt{900}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 900.

$$x=\frac{-2±30}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±30}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 30.

$$x=\frac{28}{2}$$

Διαιρέστε το 28 με το 2.

$$x=14$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±30}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 30 από -2.

$$x=-\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το -32 με το 2.

$$x=-16$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=14 x=-16$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x-224=0$$

Προσθέστε 224 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+2x-224-\left(-224\right)=-\left(-224\right)$$

Η αφαίρεση του -224 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-224\right)$$

Αφαιρέστε -224 από 0.

$$x^{2}+2x=224$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=224+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=224+1$$

Προσθέστε το 224 και το 1.

$$x^{2}+2x+1=225$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=225$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=15 x+1=-15$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=14 x=-16$$