Επίλυση x^2+15x+54=0

$$x ^ { 2 } + 15 x + 54 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-9$$

$$x=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+15x+54 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=15 ab=54$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 54.

$$1,54 2,27 3,18 6,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+54=55 2+27=29 3+18=21 6+9=15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 15.

$$a=6 b=9$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+6\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+6=0 και x+9=0.

$$x=-6 x=-9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+54. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=15 ab=1\times 54=54$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 54.

$$1,54 2,27 3,18 6,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+54=55 2+27=29 3+18=21 6+9=15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 15.

$$a=6 b=9$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+15x+54 ως \left(x^{2}+6x\right)+\left(9x+54\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(9x+54\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+6\right)+9\left(x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+6\right)\left(x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+6=0 και x+9=0.

$$x=-6 x=-9$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+15x+54=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 15 και το c με 54 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 54}}{2}$$

Υψώστε το 15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 54.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-216}}{2}$$

Προσθέστε το 225 και το -216.

$$x=\frac{-15±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-15±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-15±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -15 και το 3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το -12 με το 2.

$$x=-6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-15±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -15.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$x=-9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-6 x=-9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+15x+54=0$$

Αφαιρέστε 54 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+15x+54-54=-54$$

Η αφαίρεση του 54 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+15x=-54$$

Διαιρέστε το 15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -54 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{15}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-6 x=-9$$