Επίλυση x+4sqrt{x}-12=0

$$x + 4 \sqrt { x } - 12 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x-12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4\sqrt{x}=-\left(x-12\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x-12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4\sqrt{x}=-x-\left(-12\right)$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$4\sqrt{x}=-x+12$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(4\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x+12\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(4\sqrt{x}\right)^{2}.

$$4^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x+12\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x+12\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$16x=\left(-x+12\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-x+12\right)^{2}.

$$16x=x^{2}-24x+144$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$16x-x^{2}=-24x+144$$

Προσθήκη 24x και στις δύο πλευρές.

$$16x-x^{2}+24x=144$$

Συνδυάστε το 16x και το 24x για να λάβετε 40x.

$$40x-x^{2}=144$$

Αφαιρέστε 144 και από τις δύο πλευρές.

$$40x-x^{2}-144=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+40x-144=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-144. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=40 ab=-\left(-144\right)=144$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 40.

$$a=36 b=4$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+40x-144 ως \left(-x^{2}+36x\right)+\left(4x-144\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(4x-144\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-36\right)+4\left(x-36\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-36 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-36\right)\left(-x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-36=0 και -x+4=0.

$$x=36 x=4$$

Αντικαταστήστε το x με 36 στην εξίσωση x+4\sqrt{x}-12=0.

$$36+4\sqrt{36}-12=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=36 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$48=0$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην εξίσωση x+4\sqrt{x}-12=0.

$$4+4\sqrt{4}-12=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Η εξίσωση 4\sqrt{x}=12-x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=4$$