Επίλυση x+2(-x^2+3x+6)-3=0

$$x + 2 ( - x ^ { 2 } + 3 x + 6 ) - 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Συνδυάστε το x και το 6x για να λάβετε 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 12 για να λάβετε 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Πολλαπλασιάστε 2 και -1 για να λάβετε -2.

$$7x-2x^{2}+9=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-2x^{2}+7x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-2\times 9=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=9 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+7x+9 ως \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-2x+9\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-2x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(2x-9\right)-\left(2x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-9=0 και -x-1=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Συνδυάστε το x και το 6x για να λάβετε 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 12 για να λάβετε 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Πολλαπλασιάστε 2 και -1 για να λάβετε -2.

$$7x-2x^{2}+9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+7x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 7 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 49 και το 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-7±11}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±11}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 11.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Διαιρέστε το 4 με το -4.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±11}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -7.

$$x=-\frac{18}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=\frac{9}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Συνδυάστε το x και το 6x για να λάβετε 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 12 για να λάβετε 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)=-9$$

Πολλαπλασιάστε 2 και -1 για να λάβετε -2.

$$7x-2x^{2}=-9$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=-\frac{9}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=-\frac{9}{-2}$$

Διαιρέστε το 7 με το -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{9}{-2}$$

Διαιρέστε το -9 με το -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{2}+\frac{49}{16}$$

Προσθέστε το \frac{9}{2} και το \frac{49}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{121}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{11}{4}$$

Προσθέστε \frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$