Επίλυση r^2+r=12

$$r ^ { 2 } + r = 12$$

Λύση ως προς r

$$r=-4$$

$$r=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές.

$$r^{2}+r-12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε r^{2}+r-12 χρησιμοποιώντας τον τύπο r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-3 b=4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(r+a\right)\left(r+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(r-3\right)\left(r+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε r-3=0 και r+4=0.

$$r=3 r=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές.

$$r^{2}+r-12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως r^{2}+ar+br-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-3 b=4$$

Γράψτε πάλι το r^{2}+r-12 ως \left(r^{2}-3r\right)+\left(4r-12\right).

$$\left(r^{2}-3r\right)+\left(4r-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε r στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$r\left(r-3\right)+4\left(r-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο r-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(r-3\right)\left(r+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε r-3=0 και r+4=0.

$$r=3 r=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$r^{2}+r=12$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r^{2}+r-12=12-12$$

Η αφαίρεση του 12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$r^{2}+r-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 1 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-12\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -12.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2}$$

Προσθέστε το 1 και το 48.

$$r=\frac{-1±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$r=\frac{-1±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-1±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 7.

$$r=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$r=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-1±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -1.

$$r=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$r=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=3 r=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$r^{2}+r=12$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}+r+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$r^{2}+r+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 12 και το \frac{1}{4}.

$$r^{2}+r+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον r^{2}+r+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$r+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} r+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=3 r=-4$$