Επίλυση n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Λύση ως προς n

$$n=-15$$

$$n=16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 240 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}-n-240=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε n^{2}-n-240 χρησιμοποιώντας τον τύπο n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-16 b=15$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(n+a\right)\left(n+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-16=0 και n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 240 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}-n-240=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-240. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-16 b=15$$

Γράψτε πάλι το n^{2}-n-240 ως \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-16 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-16=0 και n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n^{2}-n=240$$

Αφαιρέστε 240 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

Η αφαίρεση του 240 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$n^{2}-n-240=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -1 και το c με -240 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Προσθέστε το 1 και το 960.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 961.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{1±31}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 31.

$$n=\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το 32 με το 2.

$$n=16$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{1±31}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 31 από 1.

$$n=-\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το -30 με το 2.

$$n=-15$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=16 n=-15$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=240$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 240 και το \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Παραγον n^{2}-n+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=16 n=-15$$