Επίλυση n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Λύση ως προς n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Υπολογίστε το 2009στη δύναμη του 2 και λάβετε 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -4019 και το c με 4036081 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Υψώστε το -4019 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Προσθέστε το 16152361 και το -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4019 είναι 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4019 και το 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3\sqrt{893} από 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Υπολογίστε το 2009στη δύναμη του 2 και λάβετε 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Αφαιρέστε 4036081 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Διαιρέστε το -4019, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4019}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4019}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4019}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Προσθέστε το -4036081 και το \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Παραγον n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Προσθέστε \frac{4019}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$