Επίλυση n^2-33n+260=0

$$n ^ { 2 } - 33 n + 260 = 0$$

Λύση ως προς n

$$n=13$$

$$n=20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε n^{2}-33n+260 χρησιμοποιώντας τον τύπο n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-33 ab=260$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 260.

$$-1,-260 -2,-130 -4,-65 -5,-52 -10,-26 -13,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-260=-261 -2-130=-132 -4-65=-69 -5-52=-57 -10-26=-36 -13-20=-33$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -33.

$$a=-20 b=-13$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(n+a\right)\left(n+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(n-20\right)\left(n-13\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-20=0 και n-13=0.

$$n=20 n=13$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn+260. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-33 ab=1\times 260=260$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 260.

$$-1,-260 -2,-130 -4,-65 -5,-52 -10,-26 -13,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-260=-261 -2-130=-132 -4-65=-69 -5-52=-57 -10-26=-36 -13-20=-33$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -33.

$$a=-20 b=-13$$

Γράψτε πάλι το n^{2}-33n+260 ως \left(n^{2}-20n\right)+\left(-13n+260\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(-13n+260\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο -13 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-20\right)-13\left(n-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-20 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-20\right)\left(n-13\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-20=0 και n-13=0.

$$n=20 n=13$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n^{2}-33n+260=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -33 και το c με 260 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 260}}{2}$$

Υψώστε το -33 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 260}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 260.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-1040}}{2}$$

Προσθέστε το 1089 και το -1040.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±7}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -33 είναι 33.

$$n=\frac{33±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{33±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 33 και το 7.

$$n=\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το 40 με το 2.

$$n=20$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{33±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 33.

$$n=\frac{26}{2}$$

Διαιρέστε το 26 με το 2.

$$n=13$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=20 n=13$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-33n+260=0$$

Αφαιρέστε 260 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n^{2}-33n+260-260=-260$$

Η αφαίρεση του 260 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$n^{2}-33n=-260$$

Διαιρέστε το -33, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{33}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{33}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-33n+\left(-\frac{33}{2}\right)^{2}=-260+\left(-\frac{33}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{33}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-33n+\frac{1089}{4}=-260+\frac{1089}{4}$$

Προσθέστε το -260 και το \frac{1089}{4}.

$$n^{2}-33n+\frac{1089}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον n^{2}-33n+\frac{1089}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{33}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{33}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{33}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{33}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{33}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=20 n=13$$