Επίλυση k^2-4(8k+36)=0

$$k ^ { 2 } - 4 ( 8 k + 36 ) = 0$$

Λύση ως προς k

$$k=-4$$

$$k=36$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε k^{2}-32k-144 χρησιμοποιώντας τον τύπο k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-32 ab=-144$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -32.

$$a=-36 b=4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(k+a\right)\left(k+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε k-36=0 και k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως k^{2}+ak+bk-144. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-32 ab=1\left(-144\right)=-144$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -32.

$$a=-36 b=4$$

Γράψτε πάλι το k^{2}-32k-144 ως \left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right).

$$\left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right)$$

Παραγοντοποιήστε k στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$k\left(k-36\right)+4\left(k-36\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο k-36 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε k-36=0 και k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -32 και το c με -144 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\left(-144\right)}}{2}$$

Υψώστε το -32 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\left(-144\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -144.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+576}}{2}$$

Προσθέστε το 1024 και το 576.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1600}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1600.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±40}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -32 είναι 32.

$$k=\frac{32±40}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{32±40}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 32 και το 40.

$$k=\frac{72}{2}$$

Διαιρέστε το 72 με το 2.

$$k=36$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{32±40}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 40 από 32.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$k=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$k=36 k=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Προσθήκη 144 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$k^{2}-32k=144$$

Διαιρέστε το -32, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -16. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -16 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$k^{2}-32k+\left(-16\right)^{2}=144+\left(-16\right)^{2}$$

Υψώστε το -16 στο τετράγωνο.

$$k^{2}-32k+256=144+256$$

Προσθέστε το 144 και το 256.

$$k^{2}-32k+256=400$$

Παραγον k^{2}-32k+256. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-16\right)^{2}=400$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(k-16\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Απλοποιήστε.

$$k-16=20 k-16=-20$$

Προσθέστε 16 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$k=36 k=-4$$