Επίλυση h(x)=-5x^2+10x+15

$$h ( x ) = - 5 x ^ { 2 } + 10 x + 15$$

Παράγοντας

$$-5\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 5.

$$5\left(-x^{2}+2x+3\right)$$

Υπολογίστε -x^{2}+2x+3. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=3 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+2x+3 ως \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$5\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-5x^{2}+10x+15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\times 15}}{2\left(-5\right)}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\times 15}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\times 15}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 20 επί 15.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+300}}{2\left(-5\right)}$$

Προσθέστε το 100 και το 300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{400}}{2\left(-5\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-10±20}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -5.

$$x=\frac{-10±20}{-10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±20}{-10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 20.

$$x=\frac{10}{-10}$$

Διαιρέστε το 10 με το -10.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±20}{-10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από -10.

$$x=-\frac{30}{-10}$$

Διαιρέστε το -30 με το -10.

$$x=3$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -1 με το x_{1} και το 3 με το x_{2}.

$$-5x^{2}+10x+15=-5\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-3\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-5x^{2}+10x+15=-5\left(x+1\right)\left(x-3\right)$$

Υπολογισμός

$$-5\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$