Επίλυση 9y^2-104y-48

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Παράγοντας

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9y^{2}+ay+by-48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -432.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -104.

$$a=-108 b=4$$

Γράψτε πάλι το 9y^{2}-104y-48 ως \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right).

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9y στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -104 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 10816 και το 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -104 είναι 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{104±112}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 104 και το 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Διαιρέστε το 216 με το 18.

$$y=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{104±112}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 112 από 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 12 με το x_{1} και το -\frac{4}{9} με το x_{2}.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{9} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 9 σε 9 και 9.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$