Επίλυση 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Παράγοντας

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Υπολογίστε 3y^{2}+25y-18. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3y^{2}+ay+by-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=-2 b=27$$

Γράψτε πάλι το 3y^{2}+25y-18 ως \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3y-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 75 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 5625 και το 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-75±87}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -75 και το 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-75±87}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 87 από -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Διαιρέστε το -162 με το 18.

$$y=-9$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{2}{3} με το x_{1} και το -9 με το x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{2}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 9 και 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$