Επίλυση 9x^2-x-890=0

$$9 x ^ { 2 } - x - 890 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{89}{9} = -9\frac{8}{9} \approx -9,888888889$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx-890. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=9\left(-890\right)=-8010$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8010.

$$1,-8010 2,-4005 3,-2670 5,-1602 6,-1335 9,-890 10,-801 15,-534 18,-445 30,-267 45,-178 89,-90$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-8010=-8009 2-4005=-4003 3-2670=-2667 5-1602=-1597 6-1335=-1329 9-890=-881 10-801=-791 15-534=-519 18-445=-427 30-267=-237 45-178=-133 89-90=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-90 b=89$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}-x-890 ως \left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right).

$$\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο 89 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(x-10\right)+89\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(9x+89\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και 9x+89=0.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -1 και το c με -890 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 9\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-36\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -890.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32040}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 1 και το 32040.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{32041}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 32041.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±179}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±179}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{1±179}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±179}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 179.

$$x=\frac{180}{18}$$

Διαιρέστε το 180 με το 18.

$$x=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±179}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 179 από 1.

$$x=-\frac{178}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-178}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{89}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Προσθέστε 890 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-x-890-\left(-890\right)=-\left(-890\right)$$

Η αφαίρεση του -890 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-x=-\left(-890\right)$$

Αφαιρέστε -890 από 0.

$$9x^{2}-x=890$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-x}{9}=\frac{890}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{890}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{890}{9}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{890}{9}+\frac{1}{324}$$

Προσθέστε το \frac{890}{9} και το \frac{1}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{32041}{324}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{32041}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32041}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{179}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{179}{18}$$

Προσθέστε \frac{1}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$