Επίλυση 9x^2-160x-36=0

$$9 x ^ { 2 } - 160 x - 36 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{9}\approx -0,222222222$$

$$x=18$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx-36. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-160 ab=9\left(-36\right)=-324$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -324.

$$1,-324 2,-162 3,-108 4,-81 6,-54 9,-36 12,-27 18,-18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-324=-323 2-162=-160 3-108=-105 4-81=-77 6-54=-48 9-36=-27 12-27=-15 18-18=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -160.

$$a=-162 b=2$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}-160x-36 ως \left(9x^{2}-162x\right)+\left(2x-36\right).

$$\left(9x^{2}-162x\right)+\left(2x-36\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(x-18\right)+2\left(x-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-18 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-18\right)\left(9x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-18=0 και 9x+2=0.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-160x-36=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -160 και το c με -36 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 9\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -160 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 9\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-36\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -36.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600+1296}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 25600 και το 1296.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{26896}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 26896.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±164}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -160 είναι 160.

$$x=\frac{160±164}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{160±164}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{160±164}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 160 και το 164.

$$x=\frac{324}{18}$$

Διαιρέστε το 324 με το 18.

$$x=18$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{160±164}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 164 από 160.

$$x=-\frac{4}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-160x-36=0$$

Προσθέστε 36 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-160x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Η αφαίρεση του -36 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-160x=-\left(-36\right)$$

Αφαιρέστε -36 από 0.

$$9x^{2}-160x=36$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-160x}{9}=\frac{36}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x=\frac{36}{9}$$

Διαιρέστε το 36 με το 9.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x=4$$

Διαιρέστε το -\frac{160}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{80}{9}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{80}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\left(-\frac{80}{9}\right)^{2}=4+\left(-\frac{80}{9}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{80}{9} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}=4+\frac{6400}{81}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{6400}{81}.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}=\frac{6724}{81}$$

Παραγον x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{80}{9}\right)^{2}=\frac{6724}{81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{80}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6724}{81}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{80}{9}=\frac{82}{9} x-\frac{80}{9}=-\frac{82}{9}$$

Προσθέστε \frac{80}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$