Επίλυση 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Αφαιρέστε 25 από 9 για να λάβετε -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx-16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-9 b=16$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}+7x-16 ως \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο 16 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Η αφαίρεση του 25 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Αφαιρέστε 25 από 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 7 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 49 και το 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±25}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Διαιρέστε το 18 με το 18.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±25}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-32}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Αφαιρέστε 9 από 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Προσθέστε το \frac{16}{9} και το \frac{49}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{18} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$