Επίλυση 9w^2+9w-4

$$9 w ^ { 2 } + 9 w - 4$$

Παράγοντας

$$\left(3w-1\right)\left(3w+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9w^{2}+aw+bw-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=9 ab=9\left(-4\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=-3 b=12$$

Γράψτε πάλι το 9w^{2}+9w-4 ως \left(9w^{2}-3w\right)+\left(12w-4\right).

$$\left(9w^{2}-3w\right)+\left(12w-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3w στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3w\left(3w-1\right)+4\left(3w-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3w-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3w-1\right)\left(3w+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$9w^{2}+9w-4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$w=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$w=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$w=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -4.

$$w=\frac{-9±\sqrt{81+144}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 81 και το 144.

$$w=\frac{-9±\sqrt{225}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$w=\frac{-9±15}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$w=\frac{-9±15}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{-9±15}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 15.

$$w=\frac{6}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$w=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{-9±15}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -9.

$$w=-\frac{24}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$w=-\frac{4}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{3} με το x_{1} και το -\frac{4}{3} με το x_{2}.

$$9w^{2}+9w-4=9\left(w-\frac{1}{3}\right)\left(w-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$9w^{2}+9w-4=9\left(w-\frac{1}{3}\right)\left(w+\frac{4}{3}\right)$$

Αφαιρέστε w από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9w^{2}+9w-4=9\times \frac{3w-1}{3}\left(w+\frac{4}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το w βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9w^{2}+9w-4=9\times \frac{3w-1}{3}\times \frac{3w+4}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3w-1}{3} επί \frac{3w+4}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$9w^{2}+9w-4=9\times \frac{\left(3w-1\right)\left(3w+4\right)}{3\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 3.

$$9w^{2}+9w-4=9\times \frac{\left(3w-1\right)\left(3w+4\right)}{9}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 9 σε 9 και 9.

$$9w^{2}+9w-4=\left(3w-1\right)\left(3w+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3w-1\right)\left(3w+4\right)$$