Επίλυση 9w^2+25=30w

$$9 w ^ { 2 } + 25 = 30 w$$

Λύση ως προς w

$$w = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 30w και από τις δύο πλευρές.

$$9w^{2}+25-30w=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$9w^{2}-30w+25=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9w^{2}+aw+bw+25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -30.

$$a=-15 b=-15$$

Γράψτε πάλι το 9w^{2}-30w+25 ως \left(9w^{2}-15w\right)+\left(-15w+25\right).

$$\left(9w^{2}-15w\right)+\left(-15w+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3w στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$3w\left(3w-5\right)-5\left(3w-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3w-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3w-5\right)\left(3w-5\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(3w-5\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 3w-5=0.

$$w=\frac{5}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 30w και από τις δύο πλευρές.

$$9w^{2}+25-30w=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9w^{2}-30w+25=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -30 και το c με 25 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -30 στο τετράγωνο.

$$w=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$w=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 25.

$$w=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 900 και το -900.

$$w=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$w=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -30 είναι 30.

$$w=\frac{30}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$w=\frac{30}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$w=\frac{5}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 30w και από τις δύο πλευρές.

$$9w^{2}+25-30w=0$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$9w^{2}-30w=-25$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9w^{2}-30w}{9}=-\frac{25}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$w^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)w=-\frac{25}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$w^{2}-\frac{10}{3}w=-\frac{25}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{10}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$w^{2}-\frac{10}{3}w+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$w^{2}-\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{25}{9} και το \frac{25}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$w^{2}-\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=0$$

Παραγον w^{2}-\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(w-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$w-\frac{5}{3}=0 w-\frac{5}{3}=0$$

Προσθέστε \frac{5}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$w=\frac{5}{3} w=\frac{5}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$w=\frac{5}{3}$$