Επίλυση 9x^2+6x+3=0

$$9 { x }^{ 2 } +6x+3 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 6 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 3}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-108}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 36 και το -108.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-72}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -72.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+6\sqrt{2}i}{18}$$

Διαιρέστε το -6+6i\sqrt{2} με το 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6i\sqrt{2} από -6.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-6}{18}$$

Διαιρέστε το -6-6i\sqrt{2} με το 18.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+6x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+6x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{3}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{3}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{3}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$