Επίλυση 9x^2+36x+32=0

$$9 { x }^{ 2 } +36x+32=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx+32. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=36 ab=9\times 32=288$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 288.

$$1,288 2,144 3,96 4,72 6,48 8,36 9,32 12,24 16,18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+288=289 2+144=146 3+96=99 4+72=76 6+48=54 8+36=44 9+32=41 12+24=36 16+18=34$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 36.

$$a=12 b=24$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}+36x+32 ως \left(9x^{2}+12x\right)+\left(24x+32\right).

$$\left(9x^{2}+12x\right)+\left(24x+32\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(3x+4\right)+8\left(3x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+4\right)\left(3x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+4=0 και 3x+8=0.

$$x=-\frac{4}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+36x+32=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 36 και το c με 32 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 9\times 32}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 36 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 9\times 32}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-36\times 32}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 32.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1152}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 1296 και το -1152.

$$x=\frac{-36±\sqrt{144}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-36±12}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-36±12}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-36±12}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -36 και το 12.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-36±12}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -36.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-48}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{4}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+36x+32=0$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+36x+32-32=-32$$

Η αφαίρεση του 32 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+36x=-32$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+36x}{9}=-\frac{32}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{36}{9}x=-\frac{32}{9}$$

Διαιρέστε το 36 με το 9.

$$x^{2}+4x=-\frac{32}{9}$$

Διαιρέστε το 4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{32}{9}+2^{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{32}{9}+4$$

Προσθέστε το -\frac{32}{9} και το 4.

$$x^{2}+4x+4=\frac{4}{9}$$

Παραγον x^{2}+4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+2=\frac{2}{3} x+2=-\frac{2}{3}$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{4}{3} x=-\frac{8}{3}$$