Επίλυση 8z^2-10z-3=

$$8 z ^ { 2 } - 10 z - 3 =$$

Παράγοντας

$$\left(2z-3\right)\left(4z+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8z^{2}+az+bz-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-12 b=2$$

Γράψτε πάλι το 8z^{2}-10z-3 ως \left(8z^{2}-12z\right)+\left(2z-3\right).

$$\left(8z^{2}-12z\right)+\left(2z-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4z στην εξίσωση 8z^{2}-12z.

$$4z\left(2z-3\right)+2z-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2z-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2z-3\right)\left(4z+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$8z^{2}-10z-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -3.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 100 και το 96.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$z=\frac{10±14}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$z=\frac{10±14}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{10±14}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 14.

$$z=\frac{24}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{24}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$z=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{10±14}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από 10.

$$z=-\frac{4}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$z=-\frac{1}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με το x_{1} και το -\frac{1}{4} με το x_{2}.

$$8z^{2}-10z-3=8\left(z-\frac{3}{2}\right)\left(z-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$8z^{2}-10z-3=8\left(z-\frac{3}{2}\right)\left(z+\frac{1}{4}\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8z^{2}-10z-3=8\times \frac{2z-3}{2}\left(z+\frac{1}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το z βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8z^{2}-10z-3=8\times \frac{2z-3}{2}\times \frac{4z+1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2z-3}{2} επί \frac{4z+1}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$8z^{2}-10z-3=8\times \frac{\left(2z-3\right)\left(4z+1\right)}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$8z^{2}-10z-3=8\times \frac{\left(2z-3\right)\left(4z+1\right)}{8}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 8 σε 8 και 8.

$$8z^{2}-10z-3=\left(2z-3\right)\left(4z+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2z-3\right)\left(4z+1\right)$$