Επίλυση 8x^2-22x-21=0

$$8 x ^ { 2 } - 22 x - 21 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx-21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-22 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -22.

$$a=-28 b=6$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}-22x-21 ως \left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-7=0 και 4x+3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -22 και το c με -21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -21.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+672}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 484 και το 672.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1156.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±34}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$x=\frac{22±34}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{22±34}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±34}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 34.

$$x=\frac{56}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{56}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±34}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 34 από 22.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Προσθέστε 21 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8x^{2}-22x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Η αφαίρεση του -21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8x^{2}-22x=-\left(-21\right)$$

Αφαιρέστε -21 από 0.

$$8x^{2}-22x=21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}-22x}{8}=\frac{21}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{22}{8}\right)x=\frac{21}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-22}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{21}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{21}{8}+\frac{121}{64}$$

Προσθέστε το \frac{21}{8} και το \frac{121}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{289}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{17}{8}$$

Προσθέστε \frac{11}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$