Επίλυση 8x^2-22x-21

$$8 x ^ { 2 } - 22 x - 21$$

Παράγοντας

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx-21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-22 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -22.

$$a=-28 b=6$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}-22x-21 ως \left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -21.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+672}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 484 και το 672.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1156.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±34}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$x=\frac{22±34}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{22±34}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±34}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 34.

$$x=\frac{56}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{56}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±34}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 34 από 22.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{7}{2} με το x_{1} και το -\frac{3}{4} με το x_{2}.

$$8x^{2}-22x-21=8\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$8x^{2}-22x-21=8\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{7}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}-22x-21=8\times \frac{2x-7}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}-22x-21=8\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-7}{2} επί \frac{4x+3}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$8x^{2}-22x-21=8\times \frac{\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$8x^{2}-22x-21=8\times \frac{\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 8 σε 8 και 8.

$$8x^{2}-22x-21=\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$