Επίλυση 8x^2-12x-11=0

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2,141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0,641941091$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -12 και το c με -11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 144 και το 352.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 496.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 4\sqrt{31}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

Διαιρέστε το 12+4\sqrt{31} με το 16.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{31} από 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

Διαιρέστε το 12-4\sqrt{31} με το 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Προσθέστε 11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Η αφαίρεση του -11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Αφαιρέστε -11 από 0.

$$8x^{2}-12x=11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το \frac{11}{8} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$