Επίλυση 8x^2+72x+108=0

$$8 x ^ { 2 } + 72 x + 108 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}\approx -1,901923789$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}\approx -7,098076211$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με 72 και το c με 108 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

Υψώστε το 72 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-32\times 108}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί 108.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-3456}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 5184 και το -3456.

$$x=\frac{-72±\sqrt{1728}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1728.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -72 και το 24\sqrt{3}.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-72}{16}$$

Διαιρέστε το -72+24\sqrt{3} με το 16.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24\sqrt{3} από -72.

$$x=\frac{-24\sqrt{3}-72}{16}$$

Διαιρέστε το -72-24\sqrt{3} με το 16.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

Αφαιρέστε 108 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8x^{2}+72x+108-108=-108$$

Η αφαίρεση του 108 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8x^{2}+72x=-108$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}+72x}{8}=-\frac{108}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\frac{72}{8}x=-\frac{108}{8}$$

Διαιρέστε το 72 με το 8.

$$x^{2}+9x=-\frac{108}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-108}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}+9x=-\frac{27}{2}$$

Διαιρέστε το 9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{27}{2}+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{27}{2} και το \frac{81}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{27}{4}$$

Παραγον x^{2}+9x+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{9}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$