Επίλυση 7x^2-36x+5=0

$$7 x ^ { 2 } - 36 x + 5 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-36 ab=7\times 5=35$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 35.

$$-1,-35 -5,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -36.

$$a=-35 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}-36x+5 ως \left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(7x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και 7x-1=0.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με -36 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -36 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-28\times 5}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-140}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 1296 και το -140.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1156}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1156.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±34}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -36 είναι 36.

$$x=\frac{36±34}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{36±34}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{36±34}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 36 και το 34.

$$x=\frac{70}{14}$$

Διαιρέστε το 70 με το 14.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{36±34}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 34 από 36.

$$x=\frac{2}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}-36x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}-36x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}-36x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Διαιρέστε το -\frac{36}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{18}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{18}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{18}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=-\frac{5}{7}+\frac{324}{49}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{7} και το \frac{324}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=\frac{289}{49}$$

Παραγον x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}=\frac{289}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{18}{7}=\frac{17}{7} x-\frac{18}{7}=-\frac{17}{7}$$

Προσθέστε \frac{18}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$