Επίλυση 7x^2-28x+28=112

$$7 x ^ { 2 } - 28 x + 28 = 112$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 112 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}-28x+28-112=0$$

Αφαιρέστε 112 από 28 για να λάβετε -84.

$$7x^{2}-28x-84=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$x^{2}-4x-12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -4.

$$a=-6 b=2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-4x-12 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+2=0.

$$x=6 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}-28x+28=112$$

Αφαιρέστε 112 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}-28x+28-112=112-112$$

Η αφαίρεση του 112 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}-28x+28-112=0$$

Αφαιρέστε 112 από 28.

$$7x^{2}-28x-84=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με -28 και το c με -84 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 7\left(-84\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 7\left(-84\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-28\left(-84\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -84.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+2352}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 784 και το 2352.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{3136}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3136.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±56}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -28 είναι 28.

$$x=\frac{28±56}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{28±56}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±56}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 28 και το 56.

$$x=\frac{84}{14}$$

Διαιρέστε το 84 με το 14.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±56}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 56 από 28.

$$x=-\frac{28}{14}$$

Διαιρέστε το -28 με το 14.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-28x+28=112$$

Αφαιρέστε 28 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}-28x+28-28=112-28$$

Η αφαίρεση του 28 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}-28x=112-28$$

Αφαιρέστε 28 από 112.

$$7x^{2}-28x=84$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}-28x}{7}=\frac{84}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{7}\right)x=\frac{84}{7}$$

Διαιρέστε το -28 με το 7.

$$x^{2}-4x=\frac{84}{7}$$

Διαιρέστε το 84 με το 7.

$$x^{2}-4x=12$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=12+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=12+4$$

Προσθέστε το 12 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=16$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=16$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=4 x-2=-4$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-2$$