Επίλυση 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0,857142857+0,638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0,857142857-0,638876565i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με -12 και το c με 8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 144 και το -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Διαιρέστε το 12+4i\sqrt{5} με το 14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{5} από 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Διαιρέστε το 12-4i\sqrt{5} με το 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

Η αφαίρεση του 8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Διαιρέστε το -\frac{12}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{6}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{6}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{6}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Προσθέστε το -\frac{8}{7} και το \frac{36}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Παραγον x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Προσθέστε \frac{6}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$